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第217章深入椭圆的世界

几日之后，戴浩文先生再次踏入讲堂。学生们早已整齐端坐，眼中满是对知识的渴望。

戴浩文清了清嗓子，说道：“今日，吾等继续探究椭圆之奥秘。上次所讲，诸位对椭圆已有初步认知，今次着重讲解椭圆之焦点与三角形性质。”

李华拱手问道：“先生，这椭圆的焦点究竟有何奇妙之处？”

戴浩文微微一笑，道：“李华，且听吾道来。椭圆之焦点，乃椭圆性质之关键所在。设椭圆两焦点分别为F?、F?，椭圆上任意一点为P，便可得三角形PF?F?。此三角形之中，存有诸多有趣之性质。”

王强急切问道：“先生，愿闻其详。”

戴浩文踱步至黑板前，边画边说：“其一，三角形PF?F?之周长，恒为定值，其值为2a 2c，其中a为长半轴，c为焦距之半。”

赵婷疑惑道：“先生，此定值如何得来？”

戴浩文耐心解释：“赵婷，汝且思之。椭圆上一点P至两焦点距离之和为2a，而两焦点间距离为2c，故周长为2a 2c。”

张明思索片刻，道：“先生，那此三角形之面积可有定法计算？”

戴浩文点头道：“张明此问甚妙。三角形PF?F?之面积，可由公式S=b2×tan(θ/2)计算，其中θ为角F?PF?。”

李华挠头道：“先生，这θ又如何得知？”

戴浩文笑曰：“李华莫急，θ虽难求，然若已知点P坐标及椭圆方程，通过向量之法，可算得角F?PF?之余弦值，进而得θ。”

王强又道：“先生，若已知三角形面积，能否反推椭圆之某些参数？”

戴浩文赞许道：“王强能作此想，实乃善思。若已知面积，结合其他条件，或可推知椭圆之某些参数。”

此时，学生们皆陷入沉思，各自在脑中推演。

戴浩文见状，说道：“吾再举一例，助汝等理解。假设有一椭圆，焦点F?(-2,0)，F?(2,0)，且三角形PF?F?面积为3，点P纵坐标为1，试求椭圆方程。”

学生们纷纷提笔计算。

过了片刻，赵婷道：“先生，学生算得c=2，由面积可得底边F?F?长度为4，高为1，故三角形面积为2，与题中不符，是否有误？”

戴浩文摇头道：“赵婷，再思之。面积应为1/2×4×1=2，然题中面积为3，可知另有玄机。”

李华恍然道：“先生，莫非与角F?PF?有关？”

戴浩文笑道：“李华聪慧，正是如此。汝等当继续深究。”

戴浩文又道：“再论椭圆焦点与准线之关系。椭圆之准线，与焦点紧密相连。准线方程为x=±a2/c。”

王强问道：“先生，此准线有何用途？”

戴浩文回道：“王强，准线之于椭圆，犹如规矩之于方圆。椭圆上一点至焦点与至准线之距离，有固定比例，此比例即为离心率e。”

张明道：“先生，如此复杂，实难一时领会。”

戴浩文鼓励道：“张明，学问之道，贵乎持之以恒。多加思索，定能通透。”

戴浩文继续讲解：“且说这椭圆焦点与三角形性质，若三角形PF?F?为等腰三角形，又当如何？”

学生们再度陷入沉思。

李华率先道：“先生，若PF?=PF?，是否可推出点P在椭圆短轴顶点？”